小学就会背的乘法表，还藏着这么多秘密？

乘法表可以追溯到4000多年前的巴比伦人十进制最早的例子出现在公元前300年左右的中国竹简做的乘法表可以计算小于99.5的整数和半整数的乘积此外，我们可以认出公元100年左右尼古拉斯在《算术导论》中提到的毕达哥拉斯表

最早的十进制乘法表之一，出现在公元前300年左右的中国，是用竹简做的。

现在在学校里，乘法表是学生死记硬背，快速记忆练习学习乘法的工具虽然有人认为掌握乘法表本身就是一种成就，但也为学生打下了坚实的数学基础让我们深入研究一下，从一些有趣的角度来揭示隐藏在乘法表中的奥秘

三角形数字

在解释什么是三角数之前，我们先来看看这个乘法表，看看我们能用它做什么表格的第一行和第一列包含数字1到10，而其他正方形则填充有行中第一个数字和列中第一个数字的乘积

在我们的表的顶部和左侧添加一行/列0，这仍然是一个乘法表，只是为了让我们看到下面的一些模式。

现在，让我们把2的倍数对应的方块涂成蓝色这意味着对应于2的倍数的所有行和列也是蓝色的，所以我们得到一个蓝色的网格不，这个蓝色格子里的方块都是白色的

现在，让我们把所有的方块都涂成3的倍数的蓝色和以前一样，我们得到一个蓝色网格，其中的行和列都对应于3的倍数

如果我们把所有4的倍数的方块都涂成蓝色，我们也可以得到一个蓝色的网格在这种情况下，蓝网多出来的地方形成一个3×3=9个小方块的正方形这些方块不是完全白色的，因为中间的方块是蓝色的发生这种情况是因为4不是质数

一般来说，如果你选择一个正整数k，用蓝色表示乘法表中k的所有倍数，那么你会得到一个对应的蓝色格子，剩下的2个小方格就组成一个正方形k是不是质数决定了这些方块是纯白的还是包含一些蓝色的小方块

这个很有意思，我们换一个k，下图是我们从k=6得到的图案。

让我们看看三角形数字是如何出现在图表中的三角形是一个数，可以用一组点组成的图案来表示，这些点排列成等边三角形，每边有相同数量的点，间距相同

例如:

第一个三角形数是1，第二个是1+2=3，第三个是1+2+3=6，第四个是1+2+3+4=10，依此类推。通常，第n个三角形数Tn是第一个数1到n的和:

怎样才能在乘法表的方块中找到这些幻数首先我们再来看乘法表，3的倍数对应的方块是蓝色的:没有什么意思)

将这个白色方块中的数字相加得到:

9不是三角数，但它是三角数的平方准确地说，它是第二个三角数T2的平方

现在，我们来看看将乘法表中4的倍数对应的方块涂成蓝色后得到的第一个白色方块:

将这个方块中的数字相加得出结果:

在这种情况下，总和等于第三个三角形数的平方。

用不了多久你就会发现k=5和k=6也有同样的规律。

当k=5时，第一个方块中的数字之和:

当k=6时:

这是普遍规律吗。

让我们用蓝色画出k的任意倍数都是这样的吗如果是的话，那么将涂蓝色的乘法表中k的倍数所围成的第一个方块中的所有数字相加后，就可以得到第k—1个三角形的数字Tk—1

让我们看看这是不是正确的。在乘法表中，我们会看到第一行方块的组成数是:

第二行用这些数字乘以2:

第三行用第一行的数字乘以3:

以这种方式逐行继续，直到正方形的最后一行:将第一行中的数字乘以:

再次添加这些行中的数字:

提出，公式就变成了:

如上所述:

因此，我们证明了第一个大正方形中所有数的和Tk—12等于第k—1个三角形的数的平方。

平方数

在整数的海洋中，乘法表主对角线上的红色数字显然是平方数——整数的二次方。

你不仅可以在乘法表中找到三角数，还可以找到平方数在前面的介绍中，我们知道乘法表中数字k的倍数用蓝色填充，这些蓝色方块所围成的方块中的数字之和与一个三角形的个数有关平方和等于(2n—1) Tk—12，其中m和n分别代表从顶部和左侧开始的平方，Tk—1是第k—1个三角形的编号

我们可以看到主对角线上蓝色倍数包围的平方和也是平方数。这一点从文章原来的求和公式中很容易证明，因为纵横位置相同，我们在公式中只用m:

分割网格

如果深入研究乘法表中其他不同大小和位置的网格结构，我们可以发现更多的平方数基于主对角线的正方形网格似乎总是产生平方数，而这个平方数与所选网格共享的列指示器和行指示器的总和密切相关

从第二行第二列的单个方块中得到方块数22 = 4，第3行和第4行与第3列和第4列重叠的地方有四个正方形(红色)将四个方块中的数字相加得到(3+4)2 = 49，第五，第六和第七行与第五，第六和第七列重叠形成九个正方形(绿色)把这九个方块的数字加在一起得到(5+6+7)2=324

左边是行指示器，上面是列指示器的乘法表。

当正方形是由不连续的行和列相交而成时，这似乎也是正确的如果我们取第1，4，8行和第1，4，8列的交集，网格中中间数字的和是:(1+4+8)2=169

对于乘法表中A，B，C三个整数定义的平方，通过数学运算可以得到适用于这三个数的公式。在上面的例子中，正方形中的数字之和是:

更一般地说，有:

通过对同一行索引和对应的列索引的交集平方中的数字求和，得到行/列索引和的平方这个可以扩展到4个数字，5个数字，甚至更多吗

正方形的平方数和立方体的平方数。

基于这些知识，我们可以发现一些特殊的模式例如，我们来看看连续奇数的行指示符和列指示符对应的行你很快就会发现，连续奇数之和等于一个平方数

因为连续奇数的和是平方数，所以对应于连续奇数的行/列指示符的和是平方数那么行/列指示符之和的平方将是一个平方数的平方:即一个数的四次方所以我们可以利用这种特殊的格形式，从乘法表中得到正整数的四次方

将连续奇数行和连续奇数列交点处的蓝色方块相加，得到四次方的数字。

我们可以用另一个有趣的结论，一个立方数可以写成连续奇数的和比如13=1，23=8=3+5，33=27=7+9+11因此，如果我们选择这些连续奇数行和列的交点处的正方形格子，这些正方形格子中的数之和将是一个立方数的平方，即一个数的六次方下面的绿色方块是第3行和第5行以及第3列和第5列的交点，它们的和是(3+5)2=(23)2=26黄色方块是第7，9，11行和第7，9，11列的交点，它们的和是(7+9+11) 2 = (33) 2

数学老师总是在寻找新的方法来引入乘法，指数和代数的概念如果跳出思维定势，我们会发现乘法表不仅仅是记忆乘法表的工具如果我们选择潜入深蓝色的水域，我们会在她的海底发现许多数学宝藏

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